В основе теории уравнений с частными
производными лежат понятия параболических,
гиперболических и эллиптических уравнений,
типичными представителями которых являются
уравнение теплопроводности, волновое уравнение
и уравнения Лапласа и Пуассона. Однако в начале
прошлого века в приложениях стали возникать
уравнения в частных производных, которые
невозможно было отнести к какому-либо классу. В
частности, выдающимся французским математиком
А. Пуанкаре (1854-1912) была открыта система
уравнений, не разрешенная относительно
производных по времени. В дальнейшем уравнения и
системы уравнений, не разрешенные относительно
выделенной производной, появлялись в работах
многих математиков и механиков (например,
таковой является система уравнений Навье -
Стокса, моделирующая динамику вязкой
несжимаемой жидкости, в качестве типичного
представителя которой можно взять обыкновенную
водопроводную воду).
Систематическое изучение этих
уравнений, которое было инициировано
фундаментальными работами выдающегося
российского математика С.Л. Соболева (1908-1989),
началось в середине прошлого века. Тогда же
возникла традиция называть уравнения и системы
уравнений с частными производными, не
разрешенные относительно выделенных
производных, уравнениями соболевского типа. В
настоящее время данные уравнения составляют
обширную область неклассических уравнений
математической физики, а исследования этих
уравнений переживают пору бурного расцвета –
только монографий, полностью или частично им
посвященных, насчитывается более двух десятков,
не говоря уже о тысячах оригинальных статей.
Первоначально исследование уравнений,
не разрешенных относительно выделенной
производной, велись в основном учениками
С.Л. Соболева: Р.А. Александряном,
А.Г. Костюченко и Г.А. Эскиным,
Т.И. Зеленяком и многими другими. Их результаты
инициировали работы В.Н. Врагова,
А.И. Кожанова и С.Г. Пяткова по
неклассическим уравнениям математической
физики. В настоящее время исследования таких
уравнений сосредоточено в нескольких
математических школах как в России, так и за
рубежом. К крупнейшим российским школам
относятся иркутская во главе с Н.А. Сидоровым,
Ю.Е. Бояринцевым, В.Ф. Чистяковым,
екатеринбургская во главе с И.В. Мельниковой,
новосибирская, ярчайшими представителями
которой наряду с А.И. Кожановым и
С.Г. Пятковым являются Г.В. Демиденко и
С.В. Успенский и челябинская во главе с
Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым. За рубежом
исследования ведутся в Болонье под руководством
А. Фавини, в Осаке под руководством А. Яги и в
Остине под руководством Р.Е. Шоуолтера.
Коллектив кафедры ведет активный
научный поиск в области уравнений соболевского
типа, целью которого является создание общей
теории и разработка конкретных приложений.
Основные направления современных исследований
кафедры: уравнения соболевского типа высокого
порядка; полулинейные уравнения соболевского
типа; задачи оптимального управления;
начально-конечные задачи для уравнений
соболевского типа; алгоритмы и методы численного
решения; оптимальные динамические измерения (как
новый математический аппарата для решения
задачи восстановления динамически искаженного
сигнала); стохастические уравнения соболевского
типа; позитивные вырожденные голоморфные группы
операторов; уравнения соболевского типа в
пространствах дифференциальных форм;
многоточечные задачи и задача Коши - Вентцеля для
уравнений соболевского типа. |
